神奇小狐熊在我家

  前天晚上幫小狐熊刷完了牙之後， 已經氣力放盡的我就直接倒臥在客廳地上。 在伸手可及的身旁剛好有幾個積木，我一邊躺著， 一邊順手撿起來把玩一番，突然想起了 前幾天的餐碗排列話題 ， 於是我又問小狐「拿這三個不同顏色的積木排順序， 有幾種排列方式呢？」 「六種。」 我先確認了小狐不但記得結論， 而且也記得我們一起討論過的推演過程，心想是時候了， 於是請小狐再去拿了第四種顏色的積木來一起加入排列。 開始講解如何不靠窮舉法也能算出排列方式的數量。 我拿著積木一輪講解，小狐拿著計算機一輪操作， 我們拿著手寫板風風火火一輪推演，就把10的階乘算完了。 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10=10!= 3628800  小狐對於階乘竟然是用驚嘆號來表達感到十分有趣。 我還分享了這個圖給他看。  數學是一種常常被包裝成「很有實用價值」的娛樂活動。 中學生可能常會對學數學的目的有所疑問 「學這個數學要幹嘛？」 「學排列組合要幹嘛？學解方程式要幹嘛？學三角函數要幹嘛？」 「這些平常生活根本就用不到啊， 我們只要學買東西付錢的四則運算就夠了吧。」 關於學數學的目的， 坊間自然會有很多擁護者提出各種數學的實用價值。 從應用數學乃至物理化學工程學密碼學，簡直無處不數學。 而且學數學還可以附帶有鍛鍊思考、鍛鍊邏輯的功效。 甚至更直白一點， 把數學學好的用途就是可以幫你考上更好的大學科系、賺更多的錢。 好數學，不學嗎？ 上面的理由我全都認同，不過對小狐跟我來說， 學數學的根本理由只是為了好玩為了 娛樂 而已。 其他的功效是副作用。 若是單看小狐，我都要以為自己是數學教學大師了。步步推導、 循循善誘，用簡單的教具將抽象的道理具現化。 困難又枯燥的數學都能被我講成簡單又有趣。 而且學生不但 學得會 ，重點是還學得 很開心 。這麼強大的成效， 我要是開個幼兒數學班那還不賣爆嗎！ 不過再轉頭看看小熊，我甚至不知道小熊有沒有學會這些數學概念。 因為小熊根本懶得參與小狐和我的數學對談。 小熊似乎還沒有體會到數學好玩在哪裡。 也就是如果我開一個幼兒數學班， 說不定也只能渡化班上一半的學生。 甚至可能更慘，全班幾十個小朋友，我只能成功渡化一隻小狐而已。 小狐確實很獨特，正如我們每一個人都是如此地獨特。 我曾經在跟朋友聊天的時候說道： 「我覺得小狐的特質很正常，就跟我一樣正常。 ...

之前有提到我跟小狐熊出門，身上常常會帶一副撲克牌，作為 3C 育兒的折衷替代品。

  小孩子每天講著一些童言童語的渾話， 大多數的言語就像背景雜訊一樣，我們可能聽完就忘了。 但在濾除雜訊之後，總有一些資訊亮點會被父母捕捉到， 進而存留在心中。 像是小狐在兩個禮拜前問了一個問題，至今仍迴盪在我心裡。 小狐問了……「最大的數字是什麼數字？」 小狐熊兩個人成天嘰哩呱啦講的話何其多、問的問題也何其多， 但沒有一個像這個問題一樣深深打中我的心。 平素小狐熊發問，我一向知之為知之，不知為不知。 答得出來就答，答不出來就說我也不知道。 但這次這個問題實在是意味深長。 我覺得我並非不知，但我卻也不知要如何回答才能答得正確完整、 引人入勝。 數學能力好的人很多，但是能把數學講得有趣的不多； 我深怕自己答得不好，就此失去後續討論這個話題的機會。 關於什麼是「最大的數字」， 我心中頓時浮現了這個我不但不會寫甚至也不會唸的符號： א  隨即又想起了自己五年前寫過一篇關於「無限」的思考心得， 在此茲將該文重編轉貼如下： 「(神對亞伯拉罕說)，論福，我必賜大福給你；論子孫， 我必叫你的子孫多起來，如同天上的星，海邊的沙。 － 創世記 22:17a」 如果是一個篤信聖經的人，讀了這段經文，心裡可能會想「嘿， 如果他子孫的數量等於天上星的數量，且又等於海邊沙的數量； 那我只要能夠查出星星或海沙的數量， 就能算出亞伯拉罕的子孫到底會有多少人了！」 嗯，這真是非常好的洞見，簡直舉一反三啊！ 但是進一步推想，星星和海沙皆日日夜夜生生滅滅， 哪有一個固定的數字可以計算呢？不過這樣確也合理。 因為亞伯拉罕的子孫數量的確可能是個無窮級數。 如果星星或海沙的數量是個定值， 那就是預表了亞伯拉罕的子孫人數在達此數量後就會絕後了。 此外，天上的星和海邊的沙這兩者數量的對應， 以目前的科學世界觀來說，恰如這句陳述：「 一條無限直線上的點的個數，和有限線段上的一樣多。」 寬闊無垠宇宙中的星星數量，竟能用渺小有限地球上的沙粒來對應， 這不就像是無限的直線與有限的線段嗎！ 那麼，我想這段經文表達的意思應該是： 這三個集合都是一個可數的無窮集合。亦即他們都能與自然數有1: 1的對應關係。 若把這段聖經用白話文來重新編譯就是：「我必叫你的子孫多起來， 你子孫集合的 冪數 ，就如同天上的星的 冪數 ，也如同海邊的沙的 冪數 。」 這個冪數，我想就是א‬(aleph)吧。 (寫於 Facebo...

小狐熊經常穿著怪異的服裝上學、不但上半身下半身風格迥異，兩腳可能還穿著不同款的襪子。 連我一個毫無美學品味的人都看得出來，這很奇怪。 但容我自言，我是非常注重美學教育的。 ……只是不在服裝儀容層面而已。 -- 前陣子 AI ChatGPT 大紅之際，許多人紛紛戰兢自己工作即將被 AI 取代。 也引發了部份學科一陣反思：「我這麼努力學這個要幹嘛？反正問 AI 就好了啊」 我個人的感觸是：等到 AI 什麼都會的時候，我們就終於不再需要為「實用」而學習了！我們終於可以為了純粹的「美感」與「樂趣」而學習了。 約翰·亞當斯(John Adams)曾說 「我必須學習政治和戰爭，這樣我的兒子才有機會去學習數學、哲學、地理、博物、商業和農業，這樣他的孩子，才有機會學習繪畫、詩歌、音樂、建築、雕塑、編織和陶瓷。」 他口中的繪畫、詩歌、音樂、建築、雕塑、編織和陶瓷，就是傳統觀點中的美學教育。 我對此句的領會是：當我們不再需要煩惱用以生產的實用技術時，就能夠放寬心地去享受沒有直接產出的美學體驗了。 同樣的道理，有了 AI 代工之後，許多學科我們不再需要為「實用」而學習，可以專注在純粹的「美感」與「樂趣」來學習。 這樣的感觸，在我使用 ChatGPT 寫作業的時候，感受尤深。 我最近剛好參加了一個 CS50 的讀書會學習電腦相關的知識技能。 (CS50是一門哈佛大學深受好評的優質通識課，免費向全世界開放，極度推薦！: https://cs50.harvard.edu/x/2022/ ) 這個課程非常精采與紮實，而且每週都有深具思考性與啟發性的程式作業。 ChatGPT 前陣子剛好橫空出世，我就好奇試著問它說作業要怎麼寫。 作業就被秒殺了。 寫得又快又正確又優美，以作業角度來看毫無瑕疵。 但我問完之後十分後悔。後來幾次的作業中，我都再也不敢問 AI 了。 為什麼不敢問了呢？ 因為我怕他奪走我的學習樂趣。 當初參加這個讀書會本是自願性質， 我不是為了拿證書或是為了實用才來學習的。 乃是要來體會計算機科學之美。是為了學習的樂趣而來的。 而這門課的學習樂趣，一半來自課堂聽講，一半來自作業實作。 請 AI 寫作業，就像是你瞬間一步到了山頂，但沿途風光啥都沒看到。樂趣頓失一半。 更慘的是，請 AI 寫作業就像是你才剛進到電影院坐下，就聽到有人說「待會鐵達尼號就要沉了，OO會死掉。」 或是才翻開推理小...

之前三不五時就一直有意無意地問小狐熊說「要不要學烏克麗麗呀～要不要學烏克麗麗呀～」 這禮拜逮到個機會，終於牽著小熊去家裡附近的樂器店拎了一把烏克麗麗回家！ 其實本來小狐熊兩個人都很想一起去逛樂器店、都很想一起去買烏克麗麗， 但是附近的馬路也狹窄、樂器店裡的走道也狹窄，我一個人實難照顧兩隻。 與其光是坐著抱怨台灣對行人極不友善的馬路環境，我們不如積極一點，主動限制小孩出門(？) 總之最後只好讓小狐熊以公平競賽的方式決定誰要出門。 本次的競賽主題是聽音辨物，我隨意在盒子裡裝未知數量的積木，請小狐熊聽聽盒子搖動的聲音後猜猜看盒子裡有幾個小積木。 數字猜得最接近的人勝，勝者即可一同出門。 為了先讓大家熟悉規則，我們先試玩了第一輪。 盒子搖了搖，發出哐啷哐啷的聲音，小熊猜三個，小狐猜五個。 結果答案揭曉，是四個。看來戰了個旗鼓相當。 不過試玩僅一輪，緊接著就進入正式比賽了， 我放了一堆積木進去，連我自己也不知道幾個。 盒子搖了搖，哐啷哐啷哐啷哐啷，小狐猜有十個，小熊猜九個。 看來這下沒有平手的空間了…… 為了避免事後有所紛爭，我特別將兩人的作答都先寫了下來並拍照。 並再三說明，無論誰贏了，都要服從比賽結果哦～ 結果答案揭曉，是九個！ ……小狐立刻伏地痛哭。哭喊說我也要出去我也要出去。 三歲小孩果然就是這麼真誠自然啊。 安撫完小狐之後，我跟小熊就出門了～ -- 一路上我還跟小熊討論了假設性問題：「如果剛剛是小狐猜對、由小狐獲得出門資格的的話，小熊會不會也大哭大鬧呢？」 小熊說不會～ 我也不知道是不是真的不會。 畢竟方才在揭曉積木數量前，小狐也是篤定地答應說會服從比賽結果的。 三歲小狐熊不會騙人，但說的話倒也作不得準。 -- 待買完烏克麗麗回到家， 為了滿足小狐想要出門的願望，我又帶著小狐出門去買水果。 此時小熊表示也想要出門一起去買水果， 但礙於路上的馬路又沒人行道又窄，實難一次照顧兩個小孩。 而且就算是有畫綠色人行道標線的馬路，往往也是不到20公尺內就卡了三台汽車，走在人行道上還得內內外外地閃避這些車。 牽著兩個小孩實在太麻煩太耗神太危險了， 所以這次只好換小熊待在家裡。 -- 雖然是我一直誘導小狐熊說出想彈烏克麗麗， 但我也毫不諱言這其實是我自己想要玩的。 在牽著小狐買完水果回家的路上，我也跟小狐分享說： 「我最近一直在研究音律， 還教了別人關於十二平均律啊、純律啊、五度相...

在孩子的成長過程中，我所能供應的真的很有限。有時候我連一隻兔子也給不出來。 但我可以分享那在我心目中遠比兔子更美妙的東西。 -- 那天小熊拿著他的手寫板來，上面畫了十分嘈雜奔放的線條，說「這是米飛兔的電影」 我看了看，看不出端倪，便問小熊兔子何在。 小熊後來說道「那爸爸你可以幫我畫一隻兔子嗎？」 我想了一下，回應小熊說道「我不太會畫兔子耶，我們請媽媽幫你畫好不好？」 不過我旋即補充說道「我雖然不太會畫兔子，但我很會寫兔子數列哦！你知道什麼是兔子數列嗎？」 於是小熊便跟我開始一起研究起了兔子數列…… 「一開始有一對小兔子，過了一個月長成了大兔子，再過了一個月這對大兔子開始每個月生一對小兔子……於是1,1,2,3,5,8……」 我們扳著手指一邊寫一邊算，到了5+8的時候，小熊發現手指不夠用了，我就把我的手指也伸出來借小熊用。 繼續算著算著算到一半，小狐也聞聲好奇湊過來看看這個兔子數列是什麼東西。 剛好，我跟小熊的手指加起來也不夠用了，就請小狐也把手指借我們。 我一邊寫數列一邊介紹道：「這個兔子數列也叫做費布納西數列，但費布納西其實不是一隻兔子，他是一個義大利人😆」 最後，我們一邊閒聊、一邊計算的兔子數列，就止步於三個人加起來的手指也不夠用的34。 後來小熊跑走了，倒是後來小狐又捧著他的另一塊手寫板來，說「爸爸，我也要跟小熊一樣的兔子數列。」 我個人當然是覺得兔子數列挺有趣的啦，但我看不出來小狐是覺得哪裡有趣。怎麼會一再想要我寫兔子數列給他呢。 不過也好，寫兔子數列比起畫兔子容易多了。 我又再說了一次「我雖然不太會畫兔子，但我很會寫兔子數列哦！可以寫得很長很長哦～」 --  我畫不出兔子也是挺合理的。 畢竟過去人生中可以用來練習畫兔子的時間，我可能都拿去研究兔子數列了。 對於小狐熊，我不打算用高言大智跟他們講述黃金比例的奧妙，也暫時不會跟他們解釋什麼是「遞迴只應天上有，凡人應當用迴圈」 To iterate is human, to recursive, divine! 但我已經準備好跟他們分享什麼是美味的斐波那契濃湯，只等他們能夠會心一笑的時候， -- 因為兔子數列的話題，勾起了我一些靈感。於是在小狐熊跑走之後，我也跑走了。 我跑去玩積木了。 結果才做到1,1,2,3,5,8,13，已翻箱倒櫃窮盡我們家單色積木的極限。 不過剛好翻出了一隻兔子可以放上去，十分點...

前幾天， 我在小狐吃完正餐後，為他端上了一塊蛋糕，是日前狐熊生日還沒吃完的生日蛋糕。 小狐吃完了一塊，主動提出要求說：「我還想要再吃最後一塊～」 我欣然答應說：「好，那我們就再吃最後一小塊囉！」 於是再端出一小塊。 小狐吃完了一小塊，再次提出要求說：「我還想要再吃最後一塊～」 我再次欣然答應說「好，那我們就再吃最後一小小塊囉！」 於是再端出一小小塊。 接著，我和小狐說明了一套關於「無限個最後一塊」的方案。 -- 最後一塊蛋糕 為什麼小狐說「最後一塊」了，吃完卻又再要了一次「最後一塊」呢。那小狐前一次是不是在騙人？ 我個人覺得不是。 我想， 小狐第一次說「想要吃最後一塊」時，是真的覺得想再吃一塊，也真的覺得吃完這一塊就會滿足了且不用再吃了。 只是吃完了第一個「最後一塊」後，小狐再次察驗自己的感覺，覺得還是想再吃一個「最後一塊」才會滿足。於是便又再提出一次要求。 我覺得這非常合理，因為這個情境裡，小狐是在表達他當下的感覺。 感覺本來就是會變來變去的。 而且不是只有小孩這麼善變，大人也是一樣。 有些人會罵小孩說： 「你剛剛自己說要的！！我給你你現在又不要！！你到底有什麼毛病！！」 「你剛剛自己不要的！！然後你現在又說要！！你到底有什麼毛病！！」 確實是有毛病，而且這個毛病，很多大人也都有……那就是「感覺」飄忽不定、自己也拿捏不準的毛病。 像是有的人會興沖沖點了某樣很想吃的餐點，結果餐送來的時候又說不想吃了😆 又或是有人突然想到一個老朋友就興沖沖地去前往拜訪他，結果還沒見到人就說已經不想見他了😆😆 王子猷……忽憶戴安道。時戴在剡，即便夜乘小船就之。經宿方至，造門不前而返。 人問其故，王曰：“吾本 乘興而行，興盡而返 ，何必見戴？” 不管是大人小孩，舊的感覺是真的，新的感覺也是真的，都不是在騙人。 都是當下的真實感覺。 只是大人比較懂得如何不造成他人的困擾，因為大人知道在「感覺」之外，還有一個東西叫做「承諾」。 「感覺」在於自己，「承諾」在於關係。 人的「感覺」總是飄忽不定，還好我們還有「承諾」作為人際相處時相對穩定的依據。 而生活中很多承諾是微小而無形的，既無書面契約也沒口頭要約，僅倚賴著多年累積起來的 社會化默契 。 就像是平常幫同事買午餐，靠著默契，我們才有辦法放心地先答應幫別人買飯，而不擔心對方突然因為「感覺」不想吃了就不付我錢。 是的，「默契」這個詞大家用得慣...